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ハイゼンベルグの不確定性原理はキャッチコピー

166: されど、ハイゼンベルグの不確定性原理 

(A):「ハイゼンベルグの不確定性原理」から「量子言語」へ
このブログの興味は、「世界観・科学観の激突」で、 具体的には、
(A1):  [実在的世界観 vs. 言語的世界観]
(A2):  [古典力学的世界観 vs. 量子力学的世界観

の二つで、これらの激突から必然的に生じるパラダイムシフト(具体的には、「量子言語」の提案)である。そして、この応用の一つとして「量子論とは何か?」に答えることであった。

 
この意味では、ハイゼンベルグの不確定性原理は、このブログの趣旨からはかなりズレると思うかもしれない。 それはそもそも「量子力学の基本原理ではない」し、さらに、あまりにも各論的・技術的だからである。
この(B)で「ハイゼンベルグの不確定性原理」の正体がわかってしまうと、次に攻略すべき問題は、
(C):  ハイゼンベルグの不確定性原理(B)を成立させるためには、如何なる「量子力学の解釈」を確立すべきか?  すなわち、「量子力学とは何か? 」となって、これが「量子言語」の提案につながた

である。 「(B)から(C)へ」はかなり必然の流れである(文献(S)を参照せよ)。 この分野の多くの研究者は「量子力学の工学的応用」を念頭に置いていることはもちろんのことであるが、それと共にいつも気に掛けている問題は、「量子力学とは何か?」だからである。


(D):ハイゼンベルグの不確定性原理はキャッチコピー

1927年に、ハイゼンベルグは、有名な γ-線顕微鏡による思考実験によって、いわゆる「ハイゼンベルグの不確定性原理(次の命題(E))」を提唱した。

命題(E):「ハイゼンベルの不確定性原理」というスローガン

ハイゼンベルグは次の(E1)-(E3)のようなことを主張した。


(E1):ある粒子の位置 x は精密測定できる.また同様に,運動量 p も精密測定できる.しかし,位置 x と運動量 p を共に精密測定することは不可能で,そ れぞれの誤差 と ∆p が不可避な近似測定しかできない.
(E2:任意の正数εに対して、
∆x < ε (or, ∆p< ε )

となるような近似測定が存在する。
(E3:しかしながら,誤差 ∆x と ∆p は,次の「ハイゼンベルグの不確定性原理」を満 たす.すなわち,
∆x • ∆p ≈ h (= プランク定数)

したがって,一方の精度を上げれば,必然的に,他方の精度は落ちる.



上の命題(E)は、20 世紀の最も有名な「科学的命題?」の一つであるが、 「呪文」とか 「のようなこと」 と言ったのは、この命題(E)は意味不明だからである。 たとえば、
(F):  (E)内の「近似測定」と「誤差」の意味(定義)が明確でない

からである。 もうすこし具体的に言うと、
  • 誤差=|真の値-測定値|

と考えることは一理あるかもしれないとしよう。 しかし、そうならば、
∆x=|x真の値-x測定値|,  ∆p=|p真の値-p測定値|

と考えたくなるが、(E3)は
  • 「x真の値とp真の値の両方を知ることができない」

と主張しているのだから、∆xと∆pは定義できないことになってしまう。 すなわち、 命題(E)は全体としては矛盾を持っているわけで、問題(F)をクリアにすることから始めなければならない。


フォン・ノイマンは、「量子力学の 数学的基礎(1932年)」の中で、命題(E)とロバートソンの不確定性関係(「スピン」の(D3):参照)のギャップを明確に言及している。 したがって、命題(E)が「呪文」、「のようなこと」であることは、この分野の専門家にとっては常識であった。 しかしながら、
(G1):  命題(E)は、「古典力学と量子力学の違いを鮮明に伝える」ための教育的方便として使われていたこともあって、命題(E)とロバートソンの不確定性関係のギャップは(量子力学の理論家以外の)一般の物理学者たちにとっては、常識というわけではなかったかもしれない。

このように、ハイゼンベルグの不確定性原理(E)は、量子力学の普及・宣伝のためのキャッチコピー(スローガン)として使われたという歴史もあって、一般には、 「最大級の過大評価」をされていた部分もあると思うが、これは公正な科学的評価ではない。


上記の事情をハイゼンベルグは百も承知していたはずで、そのハイゼンベルグがこれについて発言しなかったのには理由があるかもしれない。「量子力学の原理(ハイゼンベルグの運動方程式)」の発見者であるハイゼンベルグは次のように考えたかもしれない。
(G2):  「キャッチコピー(E)」は量子力学の提唱・確信のためのヒントとして重要だったが、提唱・確信後は、「本当のキャッチコピー」で十分、と考えたとしても不思議ではない。 「キャッチコピー(E)」をいくら突っついたところで、出てくる結果はたかが知れていて、「量子力学を見直す」というような結果は出てこないだろう。 すなわち、
  • 「わざわざ、自分がやるほどのことではない」
と考えていたかもしれない。

ハイゼンベルグにとっての最大の関心事は、当然であるが、
  • 「自分が作った量子力学に見直しを迫るような事態」

のはずで、そういう可能性があると思ったならば、命題(E)を精査したに違いないと考える。 こう考えないと、「ハイゼンベルグの沈黙」の理由を説明できない。


(H):「ハイゼンベルグの不確定性原理(E)」(cf. (B))

「ハイゼンベルグの不確定性原理(E)」は「呪文」、「ようなこと」で、ハイゼンベルグが「量子力学の原理」に到達・確信するための一ステップに過ぎない。 また、「ハイゼンベルグは、こう言ったに違いない」などという文献学的議論は、不毛な水掛け論かもしれない。 しかし、これを科学的命題として書き直す試みは推奨されるべきと考える。 ロバートソンだって、そのつもりで、「ロバートソンの不確定性関係」を提唱したのだと思う。 しかし、すべてを疑うべきで、たとえば、
(H1):  「ハイゼンベルグのγ-線顕微鏡による思考実験」という古典的考察の量子版の対応物があるかどうかは熟考した方がよい(「スピン」の(I4):参照)

また、命題(E)に似たような科学的命題を作ったとしても(このブログ流に言えば、命題(E)を量子言語で記述したとしても)、その重要さが保証されているわけではない。 しかし、そうだとしても、凡人の出来ることは、せいぜい、
  • 命題(E)に似たような科学的命題を作りたい
    このブログ流にいえば、
    命題(E)を量子言語で記述したい

ぐらいと思う。 以下は(B)の主張である。 もちろん、「呪文」の解釈が一意に決定する理由はなくて、その後も幾つかの「ハイゼンベルグの不確定性原理」の提案がされたが、「first breakthrough」はS. Ishikawaによってもたされた。 しかしながら、工学的方向での「breakthrough」があれば、これも重要で、このことは後の(R2)で書く。

(B)の主張
Hをヒルベルト空間とする。 無限次元でもかまわないが、簡単のため、有限次元とする。 すなわち、H=Cn="n次元複素ユークリッド空間"としよう。 したがって、B(H)="(n×n)-行列全体"。
A,B ∈ B(H)をエルミート行列とする。
A,Bのスペクトル分解(すなわち、観測量表示)をそれぞれ
OA=(XA,P(XA),EA), OB=(XB,P(XB),EB)

とする。
u ∈H, ||u||=1として、状態を|uu|とする。
ここで、二つの測定

(I)   MB(H)(OA, S[|uu|]),   MB(H)(OB, S[|uu|]),

を考える。それぞれの測定値の期待値は

(J)   u,Au,  u,Bu,

であることは思い出しておこう。
さて、 (I)の二つの測定を行ないたいが、「言語的コペンハーゲン解釈(測定は一回だけ)」により、これを一回の測定で行なわなくてはならない。
AとBが可換ならば、直積観測量OA×OBが定義できて、同時測定
MB(H)(OA×OB, S[|uu|])
  
を行なえばよい。
しかし、
  • 一般には、AとBの可換性を仮定できない。
    さて、それではどうするか?


このために、もう一つ別のヒルベルト空間K(=Cm)を用意して、テンソルヒルベルト空間HKを考える。
以上の記号の下に、次の定義をする
定義(K):近似同時観測量(=近似可換エルミート作用素)

二つ組[s∈ K; ( A, B )]が次を満たすとき、(A,B)の近似同時観測量と呼ぶ。

\begin{align*}\mbox{(K1)}:& s \in K, ||s||_K =1 \\ \mbox{(K2)}:& \scriptsize{A^\circ , B^\circ \in B( H \otimes K ), A^\circ B^\circ =B^\circ A^\circ} \\ \mbox{(K3)}: & \langle u \otimes s , A^\circ ( u \otimes s) \rangle = \langle u , Au \rangle \\ & \langle u \otimes s , B^\circ ( u \otimes s) \rangle =\langle u , Bu \rangle \\
&\qquad ( \forall u \in H ) \end{align*}



この定義の意味は以下の通りである。
A,Bのスペクトル分解(すなわち、観測量表示)をそれぞれ
OA=(XA,P(XA),EA), OB=(XB,P(XB),EB)

とする。
ここで、二つの測定

(L)
\begin{align}
&
M_{B(H \otimes K )} (O_{A^\circ} , S_{[ |u \otimes s \rangle \langle u \otimes s |]} )
\\
&
M_{B(H \otimes K )} (O_{B^\circ} , S_{[ |u \otimes s \rangle \langle u \otimes s |]} )
\end{align}
を考える。それぞれの測定値の期待値は

(M)   us,A(us),  us,B(us),

であることは思い出しておこう。さて、
  • (J),(K3),(M)を見比べれば、

測定値の期待値の意味で、

(N)  「測定(I)の代替として、測定(M)を行なう」というアイデア

に辿り着く。
しかも、今度は、AとBが可換なので、直積観測量OA×OBが定義できて、同時測定

(O):   MB(HK)(OA×OB, S[|usus|])
 
を行なえばよい。
もちろん、
  • この(O)こそ我々が欲していた「近似同時測定」である。

そうならば、代替(N)を、「誤差」と見なして次の定義を得る。
定義(P):近似同時測定の誤差

[s∈ K; ( A, B )]を(A,B)の近似同時観測量として、近似同時測定(O)を考える。 このとき、誤差Δ(A;u)とΔ(B;u)を次のように定める。
\begin{align*} & \Delta(A;u)=||(A^\circ - A \otimes I)(u \otimes s)|| \\ & \Delta(B;u)=||(B^\circ - B \otimes I)(u \otimes s)|| \end{align*}



以上で準備完了。
ここで、次の定理を得る。
定理(Q)[ハイゼンベルグの不確定性原理の数学表現]:命題(E)の量子言語による記述

A,B ∈ B(H)をエルミート行列とする。このとき、次の(Q1)-(Q3)が成立する。

(Q1):
(A,B)の近時同時観測量[s∈ K; ( A, B )]が存在する。
(Q2):
任意の正数εに対して、次の(i)(or (ii))を満たす近似同時測定MB(HK)(OA×OB, S[|usus|])が存在する。
 
\begin{align*} &\mbox{(i)}: \scriptsize{\Delta(A;u)=||(A^\circ - A \otimes I)(u \otimes s)|| < \epsilon} \\ & (\forall u \in H, ||u||=1) \\ &\mbox{or} \\ &\mbox{(ii)}:  \scriptsize{\Delta(B;u)=||(B^\circ - B \otimes I)(u \otimes s)|| < \epsilon} \\ & (\forall u \in H, ||u||=1)\end{align*}

(Q3):
しかしながら、任意の近似同時測定MB(HK)(OA×OB, S[|usus|])は、 次を満たす。

\begin{align*} \scriptsize{ \Delta(A;u) \cdot \Delta(B;u) \ge | \langle u, (AB-BA)u \rangle | /2}\end{align*}
したがって,一方の精度を上げれば,必然的に,他方の精度は落ちる.


証明は(B)を見よ。


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もう一度、念を押すが、
(R1):命題(E)に似ているからといって、定理(Q)の重要性が保証されるわけではない

ということです。 命題(E)は気分的命題であって、科学史の中では(考えるヒントとして以外は)一度も使われたことがない

とかでしょうか



数学基礎論の竹内外史先生(91)がお亡くなりになった(2017/05/10)。
竹内先生の「数学から物理学へ(日本評論社)」という本を思い出した。 次のまえがきが面白い。
リストがショパンとリストの音楽について尋ねられた時に次のように返事をしたといわれている。
"リストはショパンになれるが、ショパンはリストになれない。"
これは物理学者と数学者にもいえるかも知れない。"物理学者は数学者になれるが、数学者は物理学者にはなれない。"

とは言っても、竹内先生の真意を理解しているわけではない。 しかし、このまえがきと定理(Q)が著者の脳内ではセットになってしまっている。 定理(Q)は
[S]: S. Ishikawa, "Uncertainty Relations in Simultaneous Measurements for Arbitrary Observables," Rep. Math. Phys., Vol. 29, No. 3, pp. 257-273 (1991) doi: 10.1016/0034-4877(91)90046-P, [PDF download]

で発表されたことで、すでに四半世紀以上まえのことである。 当時、著者はかなりの発見をしたと幾分舞い上がったものである。 なんしろ、 「ハイゼンベルグの主張はいい加減なことで、正確には定理(Q)なのだ」からである。 それが意外にも世界の反応はあまり大きなものではなかった。 すくなくとも(旅費・宿泊費全額負担の)招待講演の依頼は一つも来なかった。 しかも、なぜあまり受けなかったのか、の明確な答えを未だに持っているわけではない。 ただ、宣伝の仕方が下手だっただけかもしれないが、数学から物理に入ると、物理者と共通の価値観を持つことは簡単でないのだと思った。 こんな理由で定理(Q)と「竹内先生のまえがき」をセットで思い出し、物理ではなくて量子言語(二元論的観念論)にフロンティアを見出すきっかけになった。 竹内先生のご冥福をお祈りいたします。

科学哲学(二元論的観念論)

量子言語(=測定理論)は、統計学と量子論を合わせた程度の強力な記述力を有する言語である。 量子言語の習得には、いろいろなアプローチの方法があっていい。 このブログでは、数物には関わらず、哲学【二元論的観念論】をメインに量子言語を紹介して、西洋哲学史の本流は常に量子言語に向かって進歩してきたことを確認する。ブログとは、一旦書いてしまうと、訂正するのが億劫になるものである。 したがって、本ブログと大幅な変更があるわけではないが、現時点での正式バージョンは【Western philosophy(PDF)】を見よ。

目次

  • 0:【Home】リンク付き目次(スマホ利用者用)
  • 1:量子力学の観測・解釈問題の解決
  • 2(上):科学哲学とは? (形而上学;統計学;量子力学)
  • 2(下):世界記述(至上)主義
  • 3(上):1+1=2:発明王エジソン;形而上学
  • 3(中):論理実証主義と形而上学
  • 3(下):ケルヴィン卿の形而上学
  • 4(上): 測定理論(=量子言語); 世界記述法の分類
  • 4(中):ソーカル事件の「脱構築」
  • 4(下)論考、知の欺瞞、量子言語
  • 5:古典力学的世界観;量子力学的世界観
  • 6:科学と統計学;量子言語;
  • 7:赤い糸 : 量子力学の観測と因果関係
  • 8:運命の量子的出会い(観測と因果律)
  • 9:コペンハーゲン解釈は虚構;因果と測定
  • 10: $[$一元論、二元論$]$×$[$実在論、観念論$]$
  • 11:離別の予感(測定と因果)
  • 12:ピタゴラス(万物は数)
  • 13:パルメニデスとヘラクレイトス;運動・変化
  • 14: 科学とは何か? 運動;因果律;確率;測定
  • 15:パルメニデスの理屈っぽさ: ゼノンのパラドックス
  • 16(上):ゼノンのパラドックスは未解決問題
  • 16(補): ハジキの公式:形而上学的命題
  • 16(中):「アキレスと亀」は未解決問題
  • 16(下): ゼノンのパラドックスの必然性
  • 17(上):存在論(パルメニデス)
  • 17(下):存在とは何か?(パルメニデス)
  • 18(上):[人気No.3]哲学は進歩したか?
  • 18:無知の知:ソクラテスの詭弁
  • 19:人間は万物の尺度:プロタゴラス×ソクラテス;倫理哲学
  • 20:イデア論:プラトンの詭弁
  • 21(上):プラトンのイデアは絶対基準・測定器のこと
  • 21(下): 西洋哲学はプラトンの脚注
  • 22(上):万学の祖アリストテレス;形相,質料
  • 22(下): プラトンとアリストテレスの融合;スコラ哲学
  • 23(上):アリストテレスの目的因
  • 23(下):三段論法を信じますか? アリストテレス
  • 23(補):必要条件と十分条件
  • 24(上):アリスタルコス(古代の地動説);アルキメデス
  • 24(下):アリスタルコス:古代の地動説
  • 25(上):ユークリッド幾何学--平行線の公準
  • 25(下):言語と数学;公理主義
  • 26:エラトステネス:古代最大の測定者
  • 27:総括〈ギリシャ vs.アレクサンドリア〉
  • 28:天動説(プトレマイオス)
  • 29:古代科学の三つの集大成
  • 30:アウグスティヌスとプラトン哲学
  • 31:アウグスティヌスと時間論;告白
  • 32:十字軍:イスラム文化(アリストテレス)の流入
  • 32.5: 位取り記数法(アラビア数字;ゼロの発見)
  • 33:神の存在証明(アンセルムス);スコラ哲学
  • 34:普遍論争と「存在・実在」;スコラ哲学
  • 36:[人気No.5]オッカムの剃刀(節約の原理)
  • 37:パラダイムシフト;コペルニクスとニュートン
  • 37(中):プラトンとアリストテレス;アテナイの学堂
  • 37(下):帰納主義;イドラ;ベーコン;経験論の祖
  • 38:天動説から地動説へ
  • 39:地動説・天動説とは、何か?
  • 40:ガリレオと地動説;ピサの斜塔;裁判
  • 41:ガリレオからニュートンへ
  • 42:プリンキピアと地動説
  • 43:因果関係とは何か?
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  • 45:認識的因果関係(ヒューム・カント)
  • 46:数学的因果関係(ピタゴラス教団)
  • 47:言語的因果関係
  • 48:我思う、 ゆえに我在り(方法序説:デカルト)
  • 49:コギト命題からデカルト図式へ
  • 49下:物心二元論・心身二元論
  • 50:オカルト図式?
  • 52:中二病(デカルトの懐疑)
  • 53:世界記述と非ユークリッド的転回
  • 54:二元論・観念論に対する誤解
  • 56:ジョン・ロック$[$人間知性論$]$タブラ・ラーサ
  • 57:イギリス経験論の祖:ジョン・ロック;第ニ次性質
  • 58:大陸合理主義:ライプニッツ; 生得説
  • 59(上):日常言語はイギリス経験論的
  • 59(下):量子言語はカント哲学的
  • 60:唯心論:バークリー;存在するとは知覚されること
  • 61:懐疑主義:ヒューム
  • 62:実在的世界記述法と言語的世界記述法
  • 63:量子力学の道具主義化
  • 64:ライプニッツ・クラーク論争; 時空とは何か?
  • 65:コペンハーゲン解釈
  • 66:原点回帰:再びパルメニデスへ
  • 67:マクタガートのパラドックス:時間論:時制
  • 68:アウグスティヌスの時間論:主観的時間
  • 70:カント:二律背反(アンチノミー)
  • 71:「我思う、ゆえに我あり」を疑う
  • 72:カントの物自体; 模写説から構成説
  • 73:コペルニクス的転回;純粋理性批判
  • 74:純粋理性批判; アプリオリな総合判断;超越論的観念論
  • 78:カント登場の必然性
  • 78(補): 功利主義;ベンサム;最大多数の最大幸福
  • 79(上): ラプラスの魔:ゼノンのパラドックス
  • 79(下): ホーキング博士の哲学批判
  • 80:カントール:集合論
  • 80(下):空集合と選択公理
  • 81:数理論理学:数学のような、哲学のような
  • 82:弁証法という諺:ヘーゲル
  • 825: プラグマティズム(実用主義)のジレンマ
  • 83:論理哲学論考;ウィトゲンシュタイン
  • 84:言語論的転回;言語哲学
  • 86: 量子力学の解釈とは何か?
  • 88:量子言語の記述力;言語ゲーム;語りえぬもの;ウィトゲンシュタイン
  • 88.5:[人気No.1]心身問題の解決
  • 89: ボーア × アインシュタインの量子力学論争
  • 90: 二つの量子力学
  • 91: 数学の三大発見
  • 92: フォン・ノイマン;量子力学
  • 93: アリストテレス、ライプニッツ、フォン・ノイマン
  • 94: 確率の歴史
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  • 99: フィッシャーの最尤法
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  • 補101:測定・推定・制御の科学哲学
  • 補102:ベイズ統計・ベイズの定理
  • 補103: 確率論と統計学
  • 150:量子力学再入門: ヒルベルト空間法
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  • 154:スピン:量子力学再入門
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  • 158:同時測定と可換条件:量子力学再入門
  • 160:ド・ブロイのパラドックス:量子力学再入門
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  • 164ベルの不等式:量子力学再考
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  • 168:EPRパラドックスの結末
  • 170:ハイゼンベルグの不確定性原理とEPRパラドックスは矛盾?
  • 174:[人気No.2]射影仮説:波束の収縮
  • 176:量子デコヒーレンス
  • 178:ハイゼンベルグ描像
  • 180:正準交換関係の不確定性関係
  • 182:行列のトレース
  • 184:ベルトランの逆説
  • 190:全射・単射・全単射
  • 192:」単射(順列)・全単射(スターリング数)
  • 500:量子言語入門(大学院講義ノート)