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ベルの不等式 ;量子力学再考

164: ベルの不等式・アスペの実験
「ベルの不等式」(の「実在性」とか「隠れた変数(すべての物理量に同時に確定した値を添付できるかどうか)」とか)の(哲学的)議論は、わかりずらい。 すなわち、
  • 相対性理論における「エーテル」と
    量子力学における「隠れた変数」は
    似たような位置にある。


(A)と(B)は復習で、(F)からが本番である。要点は、(I3)式: すなわち、
  •  量子系でも古典系でも、ベルの不等式が破られる
である。したがって、結論は、
  •  アスペの実験は、当たり前のことを確認しただけ
となる。
(A)復習:量子言語の分類
A (⊆B(Cn)="n×n行列全体")を基本代数(=作用素代数)とする。とは言っても、次の二つの場合「①と②」しか考えない。
したがて、測定理論(=量子言語)は次の分類をもつ。
(A1): 測定理論 
{
①:量子測定理論  (A=B(Cn)のとき)
②:古典測定理論 (A=BD(Cn)のとき)
 

ここで、BD(Cn)="n×n対角行列全体"(正確には、可換代数)。

(B)復習:測定:言語ルール1

(C): 観測量
A ($\subseteq$B(Cn))を基本代数とする。 (X, P0(X) )を可測空間とする。 すなわち、Xは測定値空間と呼ばれる集合、 P0(X) (⊆"Xのベキ集合"= P(X)=2X ={Ξ : Ξ⊆ X})は、集合算(和(Ξ1∪Ξ2)、積(Ξ1∩Ξ2)、補集合Ξc)に関して閉じている。 面倒ならば、「X="有限集合"、 P0(X) =P(X)」と思って読めばよい。

3 つ組 O = (X, P0(X) ,F) は,次の (i) と (ii) を満たすとき,A 内の(X-値)観測量と呼ばれる.すなわち,

(i:正値性) F : P0(X) → A で,F ($\emptyset$) = 0(= 零行列),F (X ) = I (= 単位行列),任 意の Ξ ∈ P0(X)に対して F (Ξ) は非負エルミート行列
(ii:有限加法性) 任意の Ξ12P0(X),(Ξ1∩Ξ2=$\emptyset$)に対して、
F(Ξ1∪ Ξ2)=F(Ξ1)+F(Ξ2)

(この辺りでは、「有限加法性」で十分で、「加算加法性」は先の話で今は無視)
また,観測量 O = (X, P0(X),F)は,F (Ξ) = (F (Ξ))2(for any Ξ∈ P0(X) ) を満たすとき,射影観測量 と呼ばれる.


(D): 状態
u, v (∈ Cn)に対して、 u・v*がn×n行列になることに注意せよ(行ベクトルv*は列ベクトルvの共役転置)。 u・v*
$\Large | u \rangle \langle v |$と書くこともある。すなわち、
u=|u は列ベクトル、 v*=v| は行ベクトル

と思えばよい。
基本代数A (⊆B(Cn))を考える。 状態空間Sp(A)を次のように定める。
Sp(A)={①: {u・u* | u ∈ Cn, ||u||=1} (A=B(Cn)のとき)
②:{u・u* | u ∈ {e1 ,...,en } } (A=BD(Cn)のとき)

ここに、 ek(k=1,2,...,n)はCnの完全正規直交系である。

u・u* (= |uu|∈Sp(A))を(純粋)状態と呼ぶ。

上述の準備の下に,次の「ボルンの量子測定理論(1926 年)」の「言語ヴァージョン」を得る.ボ ルンの量子測定理論は 20 世紀の科学上の発見の五指には確実に入る偉業である.
(E):測定(=言語ルール1)

基本代数A (⊆B(Cn))を考える。 状態u・u* ∈Sp(A)をもつシステムに対して、A内の観測量 O = (X, P0(X) ,F)を測定したとき、
すなわち、
測定MA(O,S[|uu|]))を行なったとき、測定値x(∈X)がΞ(∈ P0(X) )に属する確率は

u,F(Ξ)u

で与えられる。



(F):ベルの思考実験の準備


集合X={-1,1}. 複素数a,bを実部と虚部に分けて次のように書く
a= α12 -1 
b= β12 -1 

これらの絶対値は1とする。 すなわち、
\begin{align*}\scriptsize{ |a|=\sqrt{|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 }=1, \hspace{3mm}|b|=\sqrt{|\beta_1|^2 + |\beta_2|^2 }=1 }\end{align*}
確率空間( X2, P(X2), νab )を次のように定める。
\begin{align*} &\scriptsize{ \nu_{ab} ( \{(1,1)\} )= \nu_{ab}( \{(-1,-1)\} )=\frac{1-\alpha_1 \beta_1 - \alpha_2 \beta_2}{4}} \\ &
\scriptsize{\nu_{ab}( \{(1,-1)\} ) = \nu_{ab}( \{(-1,1)\} ) =\frac{1+\alpha_1 \beta_1 + \alpha_2 \beta_2}{4}.}\end{align*}
ここで、相関関数P(a,b)を次のように定義して、それを計算すると

\begin{align*} \mbox{(F1)}\quad & \scriptsize{P(a,b) \equiv \sum_{(x_1, x_2) \in X\times X } x_1 \cdot x_2 \nu_{ab} ( \{(x_1,x_2)\} )}\\ =& -\alpha_1 \beta_1 - \alpha_2 \beta_2 \end{align*}
となる。 さて、次の問題を考える。
(G):問題

X={-1,1}、複素数a,b、 確率測度νabを上のように固定する。
このとき、次を満たす測定MA(Oab=( X2,P(X2),Fab) ,S[|ψ0ψ0|])を見つけよ。
\begin{align*}
&
\mbox{(G1)}\quad\\
& \scriptsize{\nu_{ab} (\Xi)= \langle \psi_0, F_{ab} (\Xi) \psi_0 \rangle (\forall \Xi \in P(X^2))} \end{align*}


次の二つの場合(量子系と古典系)について考える。

(H1):量子系( A=B(C2)B(C2))=B(C2 C2)=B(C4)のとき)
(H2):古典系( A=BD(Cn)BD(Cn))=BD(Cn2)のとき)


(H1):量子系の場合の「(G)の解答」
さて、
\begin{align*}\small{ e_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (\in {\mathbb C}^2 )}
\end{align*}

として、複素数cをc=a または c=b とする。 B(C2)内の観測量 Oc=(X ,P(X) , Gc)を次のように定める。
\begin{align*} & G_{c}(\{1\}) = \frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & {\bar c}\; \\ c & 1 \end{bmatrix}, \\
& G_{c}(\{-1\}) = \frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & -{\bar c} \; \\ - c & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}

ここで、テンソルヒルベルト空間C2 C2内で、
\begin{align*} \scriptsize{ \psi_s=(e_1 \otimes e_2 -e_2 \otimes e_1 )/{\sqrt{2}}, \psi_0=e_1 \otimes e_1.} \end{align*}

として、
\begin{align*} \scriptsize{ \rho_s = | {\psi_s} \rangle \langle {\psi_s} | ,\rho_0= | {\psi_0} \rangle \langle {\psi_0} | \bigl(\in {\mathbb S}^p( { B }({\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2))\bigl), }\end{align*}

と定める。ρsはシングレット状態で、ド・ブロイのパラドックスのところで既出である。
ユニタリ作用素U(∈ B(C2 C2))を、 Uψ0sを満たすように定める。
B(C2 C2)内の観測量Oab=(X2 , P(X2) , Fab):=U* (Ga Gb)U )を定める。
したがって、 次の測定を得る。
MB(C2 C2)(Oab=( X2,P(X2),Fab) ,S0])

この測定は、問題(G)の次の条件(G1):
\begin{align*} & \mbox{(G1)}\quad
\\
& \small{ \nu_{ab} (\Xi)= \langle \psi_0, F_{ab} (\Xi) \psi_0 \rangle \hspace{3mm}(\forall \Xi \in P(X^2)) }
\end{align*}
を明らかに満たす。なぜならば、
\begin{align*} & \langle \psi_0, F_{ab} (\{(x_1 , x_2) \}) \psi_0 \rangle \\ = & \langle \psi_s, (G_a (\{x_1 \}) \otimes G_b (\{x_2 \}) ) \psi_s \rangle \\ = & \nu_{ab} (\{(x_1,x_2)\}). \end{align*}
(for each (x1,x2) ∈ X2)

よって、量子系の場合の問題(G)が解けた。


(H2):古典系の場合の「(G)の解答」
さて、
A=BD(C2)BD(C2)={Σi,j=1,2γij|eiej eiej| : γijは複素数 }
とする。 (ここで、C2はCnでもC(=無限次元ヒルベルト空間)でもよいが、簡単のために、C2とした。ゲルファントの定理「BD(C)=連続関数全体の空間」は重要であるが、ここでは不要)
したがって、(D)より、(純粋)状態空間は
Sp(A)={|eiej eiej| : i,j=1,2 }

ここで、 ρ0 ∈Sp(A)とする。 たとえば、ψ0=e1e2として、
ρ0=|ψ0ψ0|=|e1e2 e1e2|

としよう。
さて、 A=BD(C2)BD(C2)内の観測量Oab:=( X2, P(X2), Fab)を次を満たすように定める。
\begin{align} \mbox{(G2)} \quad & \langle \psi_0, F_{ab} (\{(x_1 , x_2) \}) \psi_0 \rangle \\
& = \nu_{ab}(\{(x_1, x_2)\}) \end{align}
したがって、 次の測定を得る。
MBD(C2)BD(C2)(Oab=( X2,P(X2),Fab) ,S0])

この測定は、問題(G)の次の条件(G1)を明らかに満たす。というより、(G1)と(G2)は同じなのだから、「明らか以前」だろう。
よって、古典系の場合の問題(G)が解けた。

(I):結論(ベルの思考実験=アスペの実験)
さて、
  • 上で、量子系と古典系の両方の場合の
    問題(G)が解決した


次に、複素数a,bを次のように動かす。
\begin{align*}&\mbox{(I1)} \\
& \scriptsize{ a^1 ={\sqrt{-1}}, \; b^1 = \frac{1+{{\sqrt{-1}}}}{ \sqrt{2} }, a^2 = 1, \; b^2 = \frac{1-{{\sqrt{-1}}}}{ \sqrt{2} }, }\end{align*}
したがって、次の4つの測定が考えられる

M11=MA(Oa1b1=( X2,P(X2),Fa1b1) ,S0])
M12=MA(Oa1b2=( X2,P(X2),Fa1b2) ,S0])
M21=MA(Oa2b1=( X2,P(X2),Fa2b1) ,S0])
M22=MA(Oa2b2=( X2,P(X2),Fa2b2) ,S0])

「(言語的)コペンハーゲン解釈」によって、「測定は一回だけ」なので、4つの測定をテンソル代数AAAAの中で、一つの測定と見なす手続きが必要だとしても、結局、次の測定値:
\begin{align} & \mbox{(I2)} \quad
\\ & \scriptsize{x= ( (x_{1}^{11} , x_{2}^{11}), (x_{1}^{12} , x_{2}^{12}), (x_{1}^{21} , x_{2}^{21}), (x_{1}^{22} , x_{2}^{22}) )}
\\ & \in \times_{i,j=1,2} X^2 =\{-1,1\}^8=X^8
\end{align}
を得る。
これを何度か繰り返して(また、テンソルの中での定式化が必要だとしても)、相関を計算できる程度の測定データを得たとしよう。式(F1)により、この相関は次の理論値と一致しなければならないはずである。
\begin{align*} & P({a^{i},b^{j}}) \\ = & \scriptsize{\sum_{(x^{ij}_1, x^{ij}_2) \in X \times X } x^{ij}_1 \cdot x^{ij}_2 \rho_0 \langle \psi_0 ,(F_{a^ib^j}( \{(x^{ij}_1,x^{ij}_2)\} ))\psi_0 \rangle} \\ =& -\alpha^{i}_1 \beta^{j}_1 - \alpha^{i}_2 \beta^{j}_2 \end{align*}
そうだとすると、さらに計算すると(式(I1)の数値を代入すると)、
(I3):
量子系と古典系のいずれの場合も
\begin{align*}\scriptsize{ |P(a^1, b^1) - P(a^1 , b^2)| \; + \; |P(a^2 , b^1) + P(a^2 , b^2 )| = 2 \sqrt{2}}
\end{align*}
となる。

量子系の場合(A=B(C2 C2)のとき)が、
ベルの思考実験で、アスペは2 2 を実験で確認した


古典系の場合は、A=BD(C2)BD(C2)が可換代数なので、別の設定も考えられる。すなわち、四つの測定Mij(i,j=1,2)を(テンソル代数AAAAの中でなくて)A内で同時測定する場合で、このときは、(I2)でなくて、
(J1)   x ∈ X4
という設定も考えられる。

参考までに、ベルの不等式を述べておくが、これは(I3)式とはまったく関係ない。
(J2):(数学)ベルの不等式
X={-1,1}として、 確率空間(X4,P(X4),μ)を考える。
x=(x1,x2,x3,x4) ∈ X4として、P(i,j)=∑x ∈X xi ・xj μ({x})と定める。
このとき、次の「ベルの不等式」が成り立つ。証明も付け加えておく。
\begin{align*} &\small{|P(1, 3) - P(1 , 4)| \; + \; |P(2 , 3) + P(2 , 4 )|}
\\ \le & \scriptsize{\sum_{x \in X^4} |x_1 x_3 -x_1 x_4| +|x_2 x_3+ x_2 x_4| \mu (\{x \})} \\ = & \sum_{x \in X^4} | x_3 - x_4| +| x_3+ x_4| \mu (\{x \}) = 2 \end{align*}


-----------------------
「隠れた変数の存在(すべての物理量に同時に確定した値を添付できる)」を仮定すると、
(I3) $\le 2 $

となるらしいが、そして、 習慣的に
  •  「(古典系でも量子系でも)ベルの不等式が破られた」

    という。 しかし、これは、「エーテルの存在」の仮定下のような議論で、ピンと来ない。 もちろん重要に違いないが、 NO-GO定理(間違った仮定の下に否定的な結論を導出する議論)は数学的になり勝ちと思う。


    このページの記事は、以下の文献の「Example 5」を初等的に書き直したものであるが、「初等的」を意識しすぎて、かえって煩雑になったかもしれない。
    S. Ishikawa, “A New Interpretation of Quantum Mechanics,Journal of Quantum Information Science,” Vol. 1 No. 2, 2011, pp. 35-42. doi: 10.4236/jqis.2011.12005 ( download free)

    また、量子言語入門(Bellの不等式)を見よ。


科学哲学(二元論的観念論)

量子言語(=測定理論)は、統計学と量子論を合わせた程度の強力な記述力を有する言語である。 量子言語の習得には、いろいろなアプローチの方法があっていい。 このブログでは、数物には関わらず、哲学【二元論的観念論】をメインに量子言語を紹介して、西洋哲学史の本流は常に量子言語に向かって進歩してきたことを確認する。ブログとは、一旦書いてしまうと、訂正するのが億劫になるものである。 したがって、本ブログと大幅な変更があるわけではないが、現時点での正式バージョンは【Western philosophy(PDF)】を見よ。

目次

  • 0:【Home】リンク付き目次(スマホ利用者用)
  • 1:量子力学の観測・解釈問題の解決
  • 2(上):科学哲学とは? (形而上学;統計学;量子力学)
  • 2(下):世界記述(至上)主義
  • 3(上):1+1=2:発明王エジソン;形而上学
  • 3(中):論理実証主義と形而上学
  • 3(下):ケルヴィン卿の形而上学
  • 4(上): 測定理論(=量子言語); 世界記述法の分類
  • 4(中):ソーカル事件の「脱構築」
  • 4(下)論考、知の欺瞞、量子言語
  • 5:古典力学的世界観;量子力学的世界観
  • 6:科学と統計学;量子言語;
  • 7:赤い糸 : 量子力学の観測と因果関係
  • 8:運命の量子的出会い(観測と因果律)
  • 9:コペンハーゲン解釈は虚構;因果と測定
  • 10: $[$一元論、二元論$]$×$[$実在論、観念論$]$
  • 11:離別の予感(測定と因果)
  • 12:ピタゴラス(万物は数)
  • 13:パルメニデスとヘラクレイトス;運動・変化
  • 14: 科学とは何か? 運動;因果律;確率;測定
  • 15:パルメニデスの理屈っぽさ: ゼノンのパラドックス
  • 16(上):ゼノンのパラドックスは未解決問題
  • 16(補): ハジキの公式:形而上学的命題
  • 16(中):「アキレスと亀」は未解決問題
  • 16(下): ゼノンのパラドックスの必然性
  • 17(上):存在論(パルメニデス)
  • 17(下):存在とは何か?(パルメニデス)
  • 18(上):[人気No.3]哲学は進歩したか?
  • 18:無知の知:ソクラテスの詭弁
  • 19:人間は万物の尺度:プロタゴラス×ソクラテス;倫理哲学
  • 20:イデア論:プラトンの詭弁
  • 21(上):プラトンのイデアは絶対基準・測定器のこと
  • 21(下): 西洋哲学はプラトンの脚注
  • 22(上):万学の祖アリストテレス;形相,質料
  • 22(下): プラトンとアリストテレスの融合;スコラ哲学
  • 23(上):アリストテレスの目的因
  • 23(下):三段論法を信じますか? アリストテレス
  • 23(補):必要条件と十分条件
  • 24(上):アリスタルコス(古代の地動説);アルキメデス
  • 24(下):アリスタルコス:古代の地動説
  • 25(上):ユークリッド幾何学--平行線の公準
  • 25(下):言語と数学;公理主義
  • 26:エラトステネス:古代最大の測定者
  • 27:総括〈ギリシャ vs.アレクサンドリア〉
  • 28:天動説(プトレマイオス)
  • 29:古代科学の三つの集大成
  • 30:アウグスティヌスとプラトン哲学
  • 31:アウグスティヌスと時間論;告白
  • 32:十字軍:イスラム文化(アリストテレス)の流入
  • 32.5: 位取り記数法(アラビア数字;ゼロの発見)
  • 33:神の存在証明(アンセルムス);スコラ哲学
  • 34:普遍論争と「存在・実在」;スコラ哲学
  • 36:[人気No.5]オッカムの剃刀(節約の原理)
  • 37:パラダイムシフト;コペルニクスとニュートン
  • 37(中):プラトンとアリストテレス;アテナイの学堂
  • 37(下):帰納主義;イドラ;ベーコン;経験論の祖
  • 38:天動説から地動説へ
  • 39:地動説・天動説とは、何か?
  • 40:ガリレオと地動説;ピサの斜塔;裁判
  • 41:ガリレオからニュートンへ
  • 42:プリンキピアと地動説
  • 43:因果関係とは何か?
  • 44:実在的因果関係(物理学)
  • 45:認識的因果関係(ヒューム・カント)
  • 46:数学的因果関係(ピタゴラス教団)
  • 47:言語的因果関係
  • 48:我思う、 ゆえに我在り(方法序説:デカルト)
  • 49:コギト命題からデカルト図式へ
  • 49下:物心二元論・心身二元論
  • 50:オカルト図式?
  • 52:中二病(デカルトの懐疑)
  • 53:世界記述と非ユークリッド的転回
  • 54:二元論・観念論に対する誤解
  • 56:ジョン・ロック$[$人間知性論$]$タブラ・ラーサ
  • 57:イギリス経験論の祖:ジョン・ロック;第ニ次性質
  • 58:大陸合理主義:ライプニッツ; 生得説
  • 59(上):日常言語はイギリス経験論的
  • 59(下):量子言語はカント哲学的
  • 60:唯心論:バークリー;存在するとは知覚されること
  • 61:懐疑主義:ヒューム
  • 62:実在的世界記述法と言語的世界記述法
  • 63:量子力学の道具主義化
  • 64:ライプニッツ・クラーク論争; 時空とは何か?
  • 65:コペンハーゲン解釈
  • 66:原点回帰:再びパルメニデスへ
  • 67:マクタガートのパラドックス:時間論:時制
  • 68:アウグスティヌスの時間論:主観的時間
  • 70:カント:二律背反(アンチノミー)
  • 71:「我思う、ゆえに我あり」を疑う
  • 72:カントの物自体; 模写説から構成説
  • 73:コペルニクス的転回;純粋理性批判
  • 74:純粋理性批判; アプリオリな総合判断;超越論的観念論
  • 78:カント登場の必然性
  • 78(補): 功利主義;ベンサム;最大多数の最大幸福
  • 79(上): ラプラスの魔:ゼノンのパラドックス
  • 79(下): ホーキング博士の哲学批判
  • 80:カントール:集合論
  • 80(下):空集合と選択公理
  • 81:数理論理学:数学のような、哲学のような
  • 82:弁証法という諺:ヘーゲル
  • 825: プラグマティズム(実用主義)のジレンマ
  • 83:論理哲学論考;ウィトゲンシュタイン
  • 84:言語論的転回;言語哲学
  • 86: 量子力学の解釈とは何か?
  • 88:量子言語の記述力;言語ゲーム;語りえぬもの;ウィトゲンシュタイン
  • 88.5:[人気No.1]心身問題の解決
  • 89: ボーア × アインシュタインの量子力学論争
  • 90: 二つの量子力学
  • 91: 数学の三大発見
  • 92: フォン・ノイマン;量子力学
  • 93: アリストテレス、ライプニッツ、フォン・ノイマン
  • 94: 確率の歴史
  • 95:確率の哲学: 確率とは何か?
  • 96: 確率論 vs. 量子言語
  • 97: 確率論: 二元論の消去
  • 98: 主観的時間; 科学哲学論争
  • 99: フィッシャーの最尤法
  • 100: 科学哲学の大きな物語の終焉
  • 補101:測定・推定・制御の科学哲学
  • 補102:ベイズ統計・ベイズの定理
  • 補103: 確率論と統計学
  • 150:量子力学再入門: ヒルベルト空間法
  • 152:エルミート行列のスペクトラル分解:量子力学再入門
  • 154:スピン:量子力学再入門
  • 156:ハミルトニアンの量子化:量子力学速習
  • 158:同時測定と可換条件:量子力学再入門
  • 160:ド・ブロイのパラドックス:量子力学再入門
  • 162:EPRパラドックス:量子力学再考
  • 164ベルの不等式:量子力学再考
  • 166:[人気No.4]ハイゼンベルグの不確定性原理はキャッチコピー
  • 168:EPRパラドックスの結末
  • 170:ハイゼンベルグの不確定性原理とEPRパラドックスは矛盾?
  • 174:[人気No.2]射影仮説:波束の収縮
  • 176:量子デコヒーレンス
  • 178:ハイゼンベルグ描像
  • 180:正準交換関係の不確定性関係
  • 182:行列のトレース
  • 184:ベルトランの逆説
  • 190:全射・単射・全単射
  • 192:」単射(順列)・全単射(スターリング数)
  • 500:量子言語入門(大学院講義ノート)