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エルゴード仮説と等重率

第185話
エルゴード仮説と等重率
非平衡統計力学は複雑なのだから論理に飛躍があって当然、 と思えばわかった気分に直ぐなれる。 しかし、平衡統計力学(=熱力学)は一貫した辻褄を期待してしまう。 そう思うと、平衡統計力学はいつまでたってもわからない。 昔の標準的な教科書では、平衡統計力学の定式化ではエルゴード仮説と等重率が基本とされていたが、もちろん様々な定式化がありうる。 量子言語では「確率」の取扱いに細心の注意を払わなければならないので、特製のエルゴード仮説と等重率を考えなる。 他の定式化との比較は一長一短であるが、次の利点がある
  • エルゴード仮説が確率と無関係の概念であることが明らかになる
  • 等重率が不要
  • 確率の出所がわかる
これを以下に書く。 


エルゴード仮説
次の定理Aは平衡統計力学の中級以上でなければ理解は無理。 この定理Aは、下の定理B(幼稚園児の遊び)とほぼ同じなので、定理Bを先に読むことを勧める。

定理A(エルゴード仮説成立の十分条件①--④)

ある箱(たとえば,一辺が約30cmの立方体)の中に,約$N ({\doteqdot} 10^{24}{})$個の同一粒子(たとえば,水素分子)が入っていて,各粒子が乱雑に運動している.
このとき,次の現象①--④を観察したとする.
①: 粒子たちの運動はニュートンの運動方程式に従う.

②:どの粒子もいろいろな場所を動いて,満遍なく運動する.たとえば,ある粒子が,いつも箱の端っこに居続けるようなことはない.

③: 任意のどの粒子も時間的な統計的挙動は同じである.

④: 任意のいくつかの粒子たちの時間的な統計的挙動は独立,すなわち,ある粒子と別の粒子の動きは連動しない.

このとき、次の「エルゴード仮説」が成立する。
\begin{align*}
&
\mbox{任意の粒子の時間的な統計的分布}
\\
=&\mbox{任意の時刻における$N ({\doteqdot} 10^{24}{})$個の統計的分布}
\tag{1}
\end{align*}
証明(と正確な記述)は次を見よ



定理B(幼稚園の遊び)

100人の幼稚園児が幼稚園の庭で,1時間の昼休みに,ブランコ,滑り台,砂遊びをするとしよう.ただし,ブランコ,滑り台,砂場はどれも十分あって順番待ちの時間はないとする.

このとき,定理1の②--④を次のように喩える。
②:どの園児も,飽きっぽくて,次々と遊びを変える.たとえば、
$\underset{\scriptsize (5分)}{\fbox{ブ}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (3分)}{\fbox{滑}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (6分)}{\fbox{砂}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (7分)}{\fbox{滑}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (9分)}{\fbox{ブ}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (8分)}{\fbox{滑}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (9分)}{\fbox{ブ}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (6分)}{\fbox{砂}}
\rightarrow
\underset{\scriptsize (7分)}{\fbox{ブ}}
%\rightarrow
%\underset{\scriptsize (3分)}{\fbox{砂}}
%%\rightarrow
%\underset{\scriptsize (4分)}{\fbox{滑}}
$
のように遊ぶ。 すなわち,昼休み中ブランコだけで遊んでいる園児はいない.

③:どの園児も同じ嗜好性を持っている.したがって,3つのそれぞれの遊びの合計時間は,どの園児も同じである.たとえば, $(\rho(ブ),\rho(滑), \rho(砂))=(1/2, 3/10,1/5)$とおいて、どの園児も\begin{align*}
\begin{cases}
ブランコで遊んだ時間の合計
&
\quad
60 \times \rho(ブ)=30分
\\
滑り台で遊んだ時間の合計
&
\quad
60 \times \rho(滑)=18分
\\
砂場で遊んだ時間の合計
&
\quad
60 \times \rho(砂)=12分
\\
\end{cases}
\tag{2}
\end{align*}
とする.

④:どの園児も,「ほぼ独立自尊」の精神で遊んでいる.すなわち,他の園児の遊びに影響されることはほとんどない.たとえば,仲良し同士で,ブランコをして,次に滑り台というようにグループ行動しない.

このとき、次の「エルゴード仮説」が成立する。 
すなわち、任意の時刻で、
\begin{align*}
\begin{cases}
ブランコで遊んでいる園児の人数
&
\quad
100 \times \rho(ブ)=50人
\\
滑り台で遊んでいる園児の人数
&
\quad
100 \times \rho(滑)=30人
\\
砂場で遊んでいる園児の人数
&
\quad
100 \times \rho(砂)=20人
\\
\end{cases}
\tag{3}
\end{align*}
である。
したがって、
  • 一人の園児の行動をつぶさに一時間観測して(2)がわかれば、園児全体の行動パターン(3)(=(2))がわかる。


注意;
定理Aの仮定①--④はかなり自然なので、エルゴード仮説(1)は成立すると考えてもよいだろう。




等重率は却下;等確率の原理を採用
通常は、
  • 等エネルギー面$\Gamma$上に不変確率測度を考えて、その測度の下に等重率を仮定する

わけであるが、こういう抽象的なのは著者の好みではない。 というより、これは教科書に書いてあるだけで、誰も信じていない。
そこで、「等重率」ではなくて、 次の「等確率の原理」を仮定する。


等確率の原理

ある箱(たとえば,一辺が約30cmの立方体の箱の中に,約$N ({\doteqdot} 10^{24}{})$個の同一粒子(たとえば,水素分子)が入っていて,各粒子が乱雑に運動している.
この箱から、粒子を一つ取り出すとしよう。
  • このとき、どの粒子を取り出す確率も同じで等しい。 すなわち、その確率は$1/N$である。

この「等確率の原理」ならば、見える。 幼稚園児でもわかる。






以上である。 つまり、
  • [定理Aの仮定①--④]($\approx$エルゴード仮説)と[等確率の原理]だけから、平衡統計力学が構成する

のが我々の提案である。
このスケッチを

で示したが、やりっぱなしになっていて、詳細を詰めていない。
  • 平衡統計力学の定式化は様々で、どれも一長一短と思う。 我々の流儀は、[ニュートン力学+壺問題(確率)]から導出するので、確率の出所が明確にわかる利点がある

と思う。 

量子言語(二元論的観念論)

①:「哲学=言葉遊び」が一般人の感覚で、哲学者はこれを覆す説得力を持っていない。しかし、著者は次のように信じる:「哲学の頓珍漢さと量子力学の頓珍漢さは、二元論としての頓珍漢さで、同根である」そうならば、デカルトとかカントとかは本当に偉いのかもしれない。量子力学がわかれば、哲学がわかるという夢のような話をしたい。次の一行目に続く【My homepage】


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②:量子言語(=測定理論)は、統計学と量子論を合わせた程度の強力な記述力を有する言語である。 量子言語の習得には、いろいろなアプローチの方法があっていい。 このブログでは、数物には関わらず、哲学【二元論的観念論】をメインに量子言語を紹介して、西洋哲学史の本流は常に量子言語に向かって進歩してきた(同じ意味で、量子言語は唯一成功した二元論的観念論である)ことを確認する。ウィトゲンシュタイン流に言うならば、「量子言語によって、すべての哲学の問題を一挙に解決する」を実現したのだから、【純理+論考】を計算できるようにモデルチェンジしただけとも言える.
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目次1

  • 0:【Home】理系の西洋哲学史;リンク付き目次
  • 1:量子力学の観測・解釈問題の解決
  • 2(上):科学哲学とは? (形而上学;統計学;量子力学)
  • 2(下):世界記述(至上)主義
  • 3(上):1+1=2:発明王エジソン;形而上学
  • 3(中):論理実証主義と形而上学
  • 3:論理実証主義と反証主義
  • :[人気]3:黒いカラス; ヘンペル
  • 3(下):ケルヴィン卿の形而上学
  • 4(上): 測定理論(=量子言語); 世界記述法の分類
  • 4(中):ソーカル事件の「脱構築」
  • 4(下)論考、知の欺瞞、量子言語
  • 5:古典力学的世界観;量子力学的世界観
  • 6:科学と統計学;量子言語;
  • 7:力学のことわざ化:量子力学の観測と因果関係
  • 8:運命の量子的出会い(観測と因果律)
  • 9:コペンハーゲン解釈は虚構;因果と測定
  • 10: $[$一元論、二元論$]$×$[$実在論、観念論$]$
  • 11:離別の予感(測定と因果)
  • 12:ピタゴラス(万物は数)
  • 12:ピタゴラスの宇宙
  • 13:パルメニデスとヘラクレイトス;運動・変化
  • 14: 科学とは何か? 運動;因果律;確率;測定
  • 15:パルメニデスの理屈っぽさ: ゼノンのパラドックス
  • 16(上):ゼノンのパラドックスは未解決問題
  • 16(上):旅人算(小学生)
  • 16(補): ハジキの公式:形而上学的命題
  • 16(中):「アキレスと亀」は未解決問題
  • 16(下): ゼノンのパラドックスの必然性
  • 17(上):存在論(パルメニデス)
  • 17(下):存在とは何か?(パルメニデス)
  • 18(上):[人気No.3]哲学は進歩したか?
  • 18:無知の知:ソクラテスの詭弁
  • 19:人間は万物の尺度:プロタゴラス×ソクラテス;倫理哲学
  • 20:イデア論:プラトンの詭弁
  • 21(上):プラトンのイデアは絶対基準・測定器のこと
  • 21(中1):プラトン:洞窟の比喩
  • 21(中2):プラトン:太陽の比喩
  • 21(下): 西洋哲学はプラトンの脚注
  • 21.3; 幾何学を知らぬ者、この門をくぐるべからず
  • 21.5: プラトンの評価
  • 22(上):万学の祖アリストテレス;形相,質料
  • 22(下): プラトンとアリストテレスの融合;スコラ哲学
  • 23(上):アリストテレスの目的因
  • 23(下):三段論法を信じますか? アリストテレス
  • 23(下):三段論法は量子系では成立しない
  • 23(補):必要条件と十分条件
  • 24(上):アリスタルコス(古代の地動説);アルキメデス
  • 24(下):アリスタルコス:古代の地動説
  • 25(上):ユークリッド幾何学--平行線の公準
  • 25:アルキメデス;(エウレーカ(発見した))
  • 25(下):言語と数学;公理主義
  • 26:エラトステネス:古代最大の測定者
  • 27:総括〈ギリシャ vs.アレクサンドリア〉
  • 28:天動説(プトレマイオス)
  • 30:アウグスティヌスとプラトン哲学
  • 31:アウグスティヌスと時間論;告白
  • 32:十字軍:イスラム文化(アリストテレス)の流入
  • 32.5: 位取り記数法(アラビア数字;ゼロの発見)
  • 33:神の存在証明(アンセルムス);スコラ哲学
  • 33.5:普遍論争
  • 34:トマス・アクィナス;神学大全
  • 36:[人気No.5]オッカムの剃刀(節約の原理)
  • 37:パラダイムシフト;コペルニクスとニュートン
  • 37(中):プラトンとアリストテレス;アテナイの学堂
  • 37(下):帰納主義;イドラ;ベーコン;経験論の祖
  • 38:天動説から地動説へ
  • 39:地動説・天動説とは、何か?
  • 39.5: ケプラーの法則; 楕円軌道
  • 40:ガリレオと地動説;ピサの斜塔;裁判
  • 40.5:ガリレオ;新科学対話の私的な疑問
  • 41:ガリレオからニュートンへ
  • 42:プリンキピアと地動説
  • 42.5:ニュートンは何故微分方程式を使わないで、プリンキピアを書いたのか?
  • 43:因果関係とは何か?
  • 44:実在的因果関係(物理学)
  • 45:認識的因果関係(ヒューム・カント)
  • 46:数学的因果関係(ピタゴラス教団)
  • 47:言語的因果関係
  • 47:[人気]旗竿問題; 科学的説明
  • 48:我思う、 ゆえに我在り(方法序説:デカルト)
  • 49:コギト命題からデカルト図式へ
  • 50:コペンハーゲン解釈;オカルト図式?
  • 52,5:デカルトの理系的評価
  • 53:世界記述と非ユークリッド的転回
  • 54:二元論・観念論に対する誤解
  • 56:ジョン・ロック$[$人間知性論$]$タブラ・ラーサ
  • 57:イギリス経験論の祖:ジョン・ロック;第ニ次性質
  • 58:大陸合理主義:ライプニッツ; 生得説
  • 59(上):日常言語はイギリス経験論的
  • 59(下):量子言語はカント哲学的
  • 60:唯心論:バークリー;存在するとは知覚されること
  • 61:懐疑主義:ヒューム
  • 61:ヒュームの帰納法・帰納的推論
  • 61:グルーのパラドックス・帰納的推論
  • 62:実在的世界記述法と言語的世界記述法
  • 63:量子力学の道具主義化
  • 64:ライプニッツ・クラーク論争; 時空とは何か?
  • 65:コペンハーゲン解釈
  • 65.3:「我思う、ゆえに我あり」を疑う
  • 65.7:私とは何か?
  • 65.7:世界五分前仮説
  • 66:原点回帰:再びパルメニデスへ
  • 67:マクタガートのパラドックス:時間論:時制
  • 68:アウグスティヌスの時間論:主観的時間
  • 69: 水槽脳の解決
  • 70:カント:二律背反(アンチノミー)
  • 72:カントの物自体; 模写説から構成説
  • 73:コペルニクス的転回;純粋理性批判
  • 74:純粋理性批判; アプリオリな総合判断;超越論的観念論
  • 78:カント登場の必然性
  • 78.5:カント「純理」の理系的評価
  • 78(補): 功利主義;ベンサム;最大多数の最大幸福
  • 79(上): ラプラスの魔:ゼノンのパラドックス
  • 79(下): ホーキング博士の哲学批判
  • 80:カントール:集合論
  • 80(下):空集合と選択公理
  • 81:数理論理学:数学のような、哲学のような
  • 82:弁証法という諺:ヘーゲル
  • 825: プラグマティズム(実用主義)のジレンマ
  • 83: パース のアブダクション と最尤法
  • 83:論理哲学論考;ウィトゲンシュタイン
  • 84:言語論的転回;言語哲学
  • 84.5:ウィトゲンシュタインの評価
  • 84.5:ウィトゲンシュタイン: 「論考」を理解する(1)
  • 84.5:ウィトゲンシュタイン: 「論考」を理解する(2)
  • 84.5:ウィトゲンシュタイン: 「論考」を理解する(3)
  • 84.5:ウィトゲンシュタイン: 「論考」を理解する(4)
  • 84.5:「論考」は「雑な議論には、論理を使え」と言っている
  • 84.5:分析哲学とはなにか?
  • 86: 量子力学の解釈とは何か?
  • 88:量子言語の記述力;言語ゲーム;語りえぬもの;ウィトゲンシュタイン
  • 88.5:[人気No.1]心身問題の解決
  • 89: ボーア × アインシュタインの量子力学論争
  • 90: 二つの量子力学
  • 91: 数学の三大発見
  • 92: フォン・ノイマン;量子力学
  • 93: アリストテレス、ライプニッツ、フォン・ノイマン
  • 94: 確率の歴史
  • 94:大数の法則:幼稚園児向け
  • 95:確率の哲学: 確率とは何か?
  • 96: 確率論 vs. 量子言語
  • 97: 確率論: 二元論の消去
  • 98: 主観的時間; 科学哲学論争
  • 99: フィッシャーの最尤法
  • 100: 科学哲学の大きな物語の終焉
  • 補101:測定・推定・制御の科学哲学
  • 補102:ベイズ統計・ベイズの定理
  • 補103: 確率論と統計学
  • 110: [人気No.3]ポパーの反証可能性と統計的仮説検定
  • 150:量子力学再入門: ヒルベルト空間法
  • 152:エルミート行列のスペクトラル分解:量子力学再入門
  • 154:スピン:量子力学再入門
  • 156:ハミルトニアンの量子化:量子力学速習
  • 158:同時測定と可換条件:量子力学再入門
  • 160:ド・ブロイのパラドックス:量子力学再入門
  • 162:EPRパラドックス:量子力学再考
  • 164:[人気No.6]ベルの不等式:量子力学再考
  • 166:[人気No.4]ハイゼンベルグの不確定性原理はキャッチコピー
  • 168:EPRパラドックスの結末
  • 170:ハイゼンベルグの不確定性原理とEPRパラドックスは矛盾?
  • 174:[人気No.2]射影仮説:波束の収縮
  • 176:量子デコヒーレンス
  • 178:ハイゼンベルグ描像
  • 182:行列のトレース
  • 184:モンティホール問題は最尤法で
  • 184:三囚人とモンティホール問題
  • 184:二つの封筒問題
  • 184:サンクトペテルベルクの二つの封筒問題
  • 184:エルゴード仮説と等重率
  • 190:全射・単射・全単射
  • 192:」単射(順列)・全単射(スターリング数)
  • 200:[最新最重要]分析哲学の最重要問題は何か?
  • 205:[最新最重要]命題の定義は何か[解答編]
  • 210:[最新最重要]ラッセのルパラドックス: 集合もどき、真理もどき
  • 212:[最新最重要]:ポパー、反証可能性、反証主義
  • 215:[最新最重要]:ムーアのパラドックス
  • 500:[人気No.3]:コペンハーゲン解釈(PDF)(大学院講義ノート)
  • 501:[人気No.1]:理系の西洋哲学史(PDF); 哲学は進歩したか?(大学院講義ノート)